CICC科普栏目｜卡方检验和秩和检验

χ²检验是一种非参数检验方法，其在分析计数数据时，对计数资料的总体的分布形态不作任何假设，它能处理一个因素两项或多项分类的实际观察频数与理论频数分布是否一致问题，或是有无显著差异问题。又称列联表分析、交叉表分析或百分比检验。

应用：推断两个或多个总体率或构成比之间有无差别、多个样本率间的多重比较、两个分类变量之间有无关联性、多维列联表的分析和频数分布拟合优度的χ²检验。

⑴四格表资料的χ²检验

χ²分布：χ²分布是一种连续型分布，只有一个参数，即自由度ν。按χ²分布的密度函数∫（χ²）可给出不同自由度的一簇χ²分布曲线。且其形状依赖于自由度ν的大小：①当自由度ν≦2时，曲线呈L形；②随着ν的增加，曲线趋于对称；③当ν→∞时，χ²分布趋于正态分布。

χ²检验的基本思想：

以四格表资料为例，表内只有4个数是该表的基本数据，其余数据都是这4个基本数据推算出来的，称为四格表资料。

χ²检验的统计量为χ²，公式为👇👇👇

χ²检验的步骤：

例：某医院欲比较A药（试验组）和B药（对照组）治疗懒癌的疗效，将200例懒癌患者随机分为两组，结果列为一个四联表，问两组治疗懒癌的总体有效率有无差别？

H0：π1=π2，即试验组和对照组治疗懒癌总体有效率相等

H1：π1≠π2，即试验组和对照组治疗懒癌总体有效率不等

α=0.05

按公式计算一个理论频数T，然后用减法计算余下三个各自的理论频数

计算χ²（别看我，看公式插进去算）：χ²=12.86

计算ν：ν=1

按ν=1查χ²界值表得＜0.005，按α=0.05水准，拒绝H0,接受H1，可以认为两组治疗懒癌的总体有效率不等。

四格表资料的Fisher确切概率法

由R.A.Fisher提出，理论依据是超集合分布，而非χ²检验的范畴，在实际应用中常用它作为四格表资料假设检验的补充。

基本思想：在四格表资料周边合计数固定不变的条件下，计算表内4个实际频数变动时的各组合之概率Pi；再按检验假设用单侧或双侧的累计频率P,依据所取得检验水准α作出推断。（太难了，我了解了解就好）

⑵配对四格表资料的χ²检验

计数资料的配对设计常用于两种检验方法、培养方法、诊断方法的比较。其特点是对样本中各观察单位分别用两种方法处理，然后观察两种处理方法的某二分类变量的计数结果。

检验步骤：

H0：B＝C，即两种方法的检测结果相同（b，c为两种结果不一致的两种情况）

H1：B≠C，即两种方法的检测结果不相同

α=0.05

计算χ²=5.79

ν=1，查χ²界值表的0.01＜P＜0.025.按α=0.05水准，拒绝H0,接受H1，可以认为两种方法的检测结果不同。

⑶行x列表资料的χ²检验

用于多个样本率的比较、两个或多个构成比的比较以及双向无序分类资料的关联性检验。其样本数据包括以下三种情况：Rx2表、2xC表、RxC表。

注意事项：

①理论频数不应小于1，或1≦T＜5的格子数不宜超过格子总数的1/5

②多个样本率比较，若所得统计推断为拒绝H0,接受H1，只能说明各总体率之间总的来说有差别，但不能说明任两个总体率之间皆有差别。需进一步作多个样本率的多重比较（如χ²分割法、Scheffe可信区间法和SNK法）

③对于有序的RxC列表不宜用χ²检验。对于RxC表的资料要根据其分类类型和研究目的选用恰当的检验方法。

RxC表资料的分类及其检验方法的选择（太长了，看图吧）

⑷Cochran-Mantel-Haenszel χ²统计量检验

用于检验两个有序分类变量是否存在线性相关

⑸频数分布拟合优度的χ²检验

检验样本的频数分布是否符合某理论分布.由于Pearsonχ²值能反映实际频数与理论频数的吻合程度，故χ²检验可用于推断频数分布的拟合优度，而且应用广泛，如正态分布、二项分布、Poisson分布、负二项分布等。

秩和检验是推断一个总体表达分布位置的中位数M（非参数）和已知M0、两个或多个不同总体是否有差别。秩和检验是先将数值变量资料由小到大，或等级资料由弱到强转换成秩后，再计算检验统计量，其特点是假设检验的结果对总体分布的形状差别不敏感，只对总体分布的位置差别敏感。

适用范围：

⒈偏态分布资料

⒉资料分布类型不明确

⒊个别数据偏离过大或数据某一端的值不确定（开口数据）

⒋各组离散程度相差悬殊

⒌等级资料或频数表资料

（注意：虽然秩和检验的适用范围特别广，但是我们不能因为省事就就把所有到手的数据直接拿来做秩和检验啦。毕竟数据难得，要用最有效的方法，对于计量资料且又满足了正态性和方差齐性来说，当然选t检验或F检验，以最大发挥其检验效能。）

⑴配对样本比较的Wilcoxon符号秩检验

亦称符号秩和检验，用于配对样本差值的中位数和0比较，还可用于单个样本中中位数和总体中位数比较。

举个🌰：

对12份血清分别用原方法和新方法测谷-丙转氨酶。问两法所得结果有无差别？

本例配对样本差值经正态性检验，推断的总体不服从正态分布（P＜0.1），现有Wilcoxon符号秩检验。

H0：差值的总体中位数Md=0

H1：Md≠0

α=0.05

求检验统计量T值：取有效对子数，编秩，任取正秩和或负秩和为T

确定P值，做出推断结论：当n≦50时，查T界值表；当n＞50时，可用正态近似法（据中心极限定理，当n很大时，T分布近似于正态分布）。本例n=11，T=11.5，查表的双侧0.05＜P＜0.10，按α=0.05水准，不拒绝H0，尚不能认为两法测谷-丙转氨酶结果有差别。

⑵两个独立样本比较的Wilcoxon秩和检验

用于推断计量资料或等级资料的两个独立样本所来自的两个总体分布是否有差别。

由于秩和检验对两个总体分布的形状差别不敏感，其目的只是推断两个总体分布的位置是否有差别。

举例

对10例肺癌患者和12例矽肺患者0期工人用X线片测量肺门横径右侧距RD值（cm），问肺癌患者的RD值是否高于矽肺0期工人的RD值？

本例两样本资料经方差齐性检验，推断得两总体方差不等（P＜0.01),现用Wilcoxon秩和检验。

H0：肺癌患者和矽肺0期工人的RD值总体分布位置相同

H1：肺癌患者的RD值高于矽肺0期工人的RD值

α=0.05

求检验统计量T值：①把两样本数据混合从小到大编秩，遇数据相等者取平均秩；②以样本例数小者为n1，其秩和（T1）为T，若两样本例数相等，可任取一样本的秩和（T1或T2）为T.

确定P值，作出推断结论

⑶完全随机设计的多个样本比较的Kruskal-Wallis H检验

用于推断计量资料或等级资料的多个独立样本所来自的多个总体分布是否有差别。

步骤同上。

  多个独立样本两两比较的Nemenyi检验--当经过多个独立样本比较的Kruskal-Wallis H检验拒绝H0，接受H1，认为多个总体位置不全相等时，若有进一步推断是哪两两总体分布位置不同，可以Nemenyi法检验。

⑷随机区组设计多个样本比较的Friedman M检验

用于推断随机区组设计的多个相关样本所来自的多个总体分布是否有差别。检验假设H0和备择假设H1与Kruskal-Wallis H检验相同。

同样，当其拒绝H0，接受H1，认为多个总体分布位置不全相同时，若要进一步推断是哪两两总体分布位置不同，可用q检验。

Q：两样本率比较的u检验和χ²检验有无异同

A:两样本率比较时，若对同一资料同时进行u检验和χ²检验，在不校正的情况下χ²＝μ²；但u检验通常用于大样本，而χ²检验可用于大样本或小样本。